3.236 \(\int (c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=226 \[ \frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b} \]

[Out]

((-2*I)*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (4*d*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^2*C
sc[a + b*x])/b + ((2*I)*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b
*x))])/b^2 - ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*d^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b
^3 - (2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.383878, antiderivative size = 226, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 19, number of rules used = 15, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.682, Rules used = {2621, 321, 207, 4420, 6741, 12, 6742, 6273, 4181, 2531, 2282, 6589, 4183, 2279, 2391} \[ \frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x],x]

[Out]

((-2*I)*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (4*d*(c + d*x)*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((c + d*x)^2*C
sc[a + b*x])/b + ((2*I)*d^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b
*x))])/b^2 - ((2*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*d^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b
^3 - (2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3

Rule 2621

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> -Dist[(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 4420

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6741

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx &=\frac{(c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}-(2 d) \int (c+d x) \left (\frac{\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{\csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}-(2 d) \int \frac{(c+d x) \left (\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-\csc (a+b x)\right )}{b} \, dx\\ &=\frac{(c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}-\frac{(2 d) \int (c+d x) \left (\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-\csc (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{(c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}-\frac{(2 d) \int \left ((c+d x) \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-(c+d x) \csc (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{(c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}-\frac{(2 d) \int (c+d x) \tanh ^{-1}(\sin (a+b x)) \, dx}{b}+\frac{(2 d) \int (c+d x) \csc (a+b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}+\frac{\int b (c+d x)^2 \sec (a+b x) \, dx}{b}-\frac{\left (2 d^2\right ) \int \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (2 d^2\right ) \int \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}+\frac{\left (2 i d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (2 i d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\int (c+d x)^2 \sec (a+b x) \, dx\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}+\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{(2 d) \int (c+d x) \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(2 d) \int (c+d x) \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}+\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (2 i d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (2 i d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}+\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (2 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{\left (2 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{4 d (c+d x) \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^2 \csc (a+b x)}{b}+\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d^2 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 d^2 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.29071, size = 593, normalized size = 2.62 \[ \frac{2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )-2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )-2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-2 i b^2 c^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )+2 b^2 c d x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-2 b^2 c d x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )+b^2 d^2 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-b^2 d^2 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 d^2 \left (-\frac{2 \tan ^{-1}(\tan (a)) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sin (a) \tan \left (\frac{b x}{2}\right )-\cos (a)}{\sqrt{\sin ^2(a)+\cos ^2(a)}}\right )}{\sqrt{\sin ^2(a)+\cos ^2(a)}}+\frac{\sec (a) \left (i \left (\text{PolyLog}\left (2,-e^{i \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )}\right )-\text{PolyLog}\left (2,e^{i \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )}\right )\right )+\left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right ) \left (\log \left (1-e^{i \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )}\right )-\log \left (1+e^{i \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )}\right )\right )\right )}{\sqrt{\tan ^2(a)+1}}\right )}{b^3}+\frac{4 i c d \tan ^{-1}\left (\frac{i \cos (a)-i \sin (a) \tan \left (\frac{b x}{2}\right )}{\sqrt{\sin ^2(a)+\cos ^2(a)}}\right )}{b^2 \sqrt{\sin ^2(a)+\cos ^2(a)}}+\frac{\csc \left (\frac{a}{2}\right ) \csc \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right ) \left (c^2 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )+2 c d x \sin \left (\frac{b x}{2}\right )+d^2 x^2 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )\right )}{2 b}+\frac{\sec \left (\frac{a}{2}\right ) \sec \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right ) \left (c^2 \left (-\sin \left (\frac{b x}{2}\right )\right )-2 c d x \sin \left (\frac{b x}{2}\right )-d^2 x^2 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )\right )}{2 b}-\frac{\csc (a) (c+d x)^2}{b} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x],x]

[Out]

-(((c + d*x)^2*Csc[a])/b) + ((-2*I)*b^2*c^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] + 2*b^2*c*d*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] +
b^2*d^2*x^2*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 2*b^2*c*d*x*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] - b^2*d^2*x^2*Log[1 + I*E^(I*
(a + b*x))] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a
+ b*x))] - 2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + 2*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((4*I)*c*d*ArcT
an[(I*Cos[a] - I*Sin[a]*Tan[(b*x)/2])/Sqrt[Cos[a]^2 + Sin[a]^2]])/(b^2*Sqrt[Cos[a]^2 + Sin[a]^2]) + (Sec[a/2]*
Sec[a/2 + (b*x)/2]*(-(c^2*Sin[(b*x)/2]) - 2*c*d*x*Sin[(b*x)/2] - d^2*x^2*Sin[(b*x)/2]))/(2*b) + (Csc[a/2]*Csc[
a/2 + (b*x)/2]*(c^2*Sin[(b*x)/2] + 2*c*d*x*Sin[(b*x)/2] + d^2*x^2*Sin[(b*x)/2]))/(2*b) + (2*d^2*((-2*ArcTan[Ta
n[a]]*ArcTanh[(-Cos[a] + Sin[a]*Tan[(b*x)/2])/Sqrt[Cos[a]^2 + Sin[a]^2]])/Sqrt[Cos[a]^2 + Sin[a]^2] + (((b*x +
ArcTan[Tan[a]])*(Log[1 - E^(I*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] - Log[1 + E^(I*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))]) + I*(PolyLog[
2, -E^(I*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] - PolyLog[2, E^(I*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))]))*Sec[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/b^
3

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.449, size = 556, normalized size = 2.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x)

[Out]

2*I/b^2*d^2*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x-2*d^2/b^3*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+1/b*d^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2
+2*d/b^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-1/b^3*a^2*d^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))-1/b*d^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+1/b^3*
a^2*d^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))-2/b*c*d*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x+2*I/b^2*c*d*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))-2*I/b
^2*d^2*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x+2*I/b^3*d^2*dilog(exp(I*(b*x+a))+1)+4*I/b^2*c*d*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))-
2*d/b^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+2/b^2*c*d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a+2*d^2*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))/b^3+2*I/b^
3*d^2*dilog(exp(I*(b*x+a)))-2*I/b^2*c*d*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))-2*d^2*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^3-2*I
*(d^2*x^2+2*c*d*x+c^2)*exp(I*(b*x+a))/b/(exp(2*I*(b*x+a))-1)-2*d^2/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-2/b^2*c*d*ln(1+I
*exp(I*(b*x+a)))*a+2/b*c*d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x-2*I/b^3*d^2*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-2*I/b*c^2*arctan(ex
p(I*(b*x+a)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.35497, size = 2202, normalized size = 9.74 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(c^2*(2/sin(b*x + a) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1)) - 2*a*c*d*(2/sin(b*x + a) - log(sin
(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a) - 1))/b + a^2*d^2*(2/sin(b*x + a) - log(sin(b*x + a) + 1) + log(sin(b*x + a)
- 1))/b^2 - 2*((2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) - 2*((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d - a*d^2)*(b*x
+ a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-4*I*b*c*d + 4*I*a*d^2)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan
2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (2*(b*x + a)^2*d^2 + 4*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) - 2*((b*x + a)^2*d^2 + 2*
(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-2*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-4*I*b*c*d + 4*I*a*d^2)*(b*x + a))*sin(
2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) + (4*b*c*d + 4*(b*x + a)*d^2 - 4*a*d^2 - 4*(b*c*d + (b*
x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) + (-4*I*b*c*d - 4*I*(b*x + a)*d^2 + 4*I*a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(
sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (4*b*c*d - 4*a*d^2 - 4*(b*c*d - a*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) - (4*I*b*c*d - 4*I*a
*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) - 4*((b*x + a)*d^2*cos(2*b*x + 2*a) + I*(b*x +
a)*d^2*sin(2*b*x + 2*a) - (b*x + a)*d^2)*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - 4*((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b
*c*d - a*d^2)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (4*b*c*d + 4*(b*x + a)*d^2 - 4*a*d^2 - 4*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^
2)*cos(2*b*x + 2*a) + (-4*I*b*c*d - 4*I*(b*x + a)*d^2 + 4*I*a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(I*e^(I*b*x + I*a))
- (4*b*c*d + 4*(b*x + a)*d^2 - 4*a*d^2 - 4*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) - (4*I*b*c*d + 4*I
*(b*x + a)*d^2 - 4*I*a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) + 4*(d^2*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^2*sin(
2*b*x + 2*a) - d^2)*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - 4*(d^2*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^2*sin(2*b*x + 2*a) - d^2)*dilog(e^
(I*b*x + I*a)) + (-2*I*b*c*d - 2*I*(b*x + a)*d^2 + 2*I*a*d^2 + (2*I*b*c*d + 2*I*(b*x + a)*d^2 - 2*I*a*d^2)*cos
(2*b*x + 2*a) - 2*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*co
s(b*x + a) + 1) + (2*I*b*c*d + 2*I*(b*x + a)*d^2 - 2*I*a*d^2 + (-2*I*b*c*d - 2*I*(b*x + a)*d^2 + 2*I*a*d^2)*co
s(2*b*x + 2*a) + 2*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*c
os(b*x + a) + 1) + (I*(b*x + a)^2*d^2 + (2*I*b*c*d - 2*I*a*d^2)*(b*x + a) + (-I*(b*x + a)^2*d^2 + (-2*I*b*c*d
+ 2*I*a*d^2)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*l
og(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + (-I*(b*x + a)^2*d^2 + (-2*I*b*c*d + 2*I*a*d^2)*(b*x
+ a) + (I*(b*x + a)^2*d^2 + (2*I*b*c*d - 2*I*a*d^2)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d
- a*d^2)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + (-4*I*d^2*c
os(2*b*x + 2*a) + 4*d^2*sin(2*b*x + 2*a) + 4*I*d^2)*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) + (4*I*d^2*cos(2*b*x + 2*a)
- 4*d^2*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I*d^2)*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) + (-4*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-8*I*b*c*d + 8*I
*a*d^2)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-2*I*b^2*cos(2*b*x + 2*a) + 2*b^2*sin(2*b*x + 2*a) + 2*I*b^2))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.764123, size = 2844, normalized size = 12.58 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*b^2*d^2*x^2 + 4*b^2*c*d*x + 2*b^2*c^2 + 2*I*d^2*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 2*
I*d^2*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 2*I*d^2*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*
x + a) - 2*I*d^2*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 2*d^2*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*
x + a))*sin(b*x + a) - 2*d^2*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 2*d^2*polylog(3, -I*cos(
b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 2*d^2*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-2*I*
b*d^2*x - 2*I*b*c*d)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (-2*I*b*d^2*x - 2*I*b*c*d)*dilog(I*co
s(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - (2*I*b*d^2*x + 2*I*b*c*d)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(
b*x + a) - (2*I*b*d^2*x + 2*I*b*c*d)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 2*(b*d^2*x + b*c*d)*
log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - (b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(cos(b*x + a) + I*sin
(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 2*(b*d^2*x + b*c*d)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + (b^2*c
^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2
*a*b*c*d - a^2*d^2)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c
*d - a^2*d^2)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a
^2*d^2)*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^
2)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - 2*(b*c*d - a*d^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(
b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) - 2*(b*c*d - a*d^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a
) - 2*(b*d^2*x + a*d^2)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - (b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)
*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) - 2*(b*d^2*x + a*d^2)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)
+ 1)*sin(b*x + a) + (b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a))/(b^
3*sin(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**2*csc(b*x+a)**2*sec(b*x+a),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out